Question

3．函數(shù)f（x）=2（x-1）sinπx-1在區(qū)間[-2012，2014]內(nèi)所有零點(diǎn)之和為（　�。�

• A． 2012
• B． 4024
• C． 2014
• D． 4025

Answer 1

分析 設(shè) f（x）=$\frac{1}{x-1}$，g（x）=2sinπx，此題是求以上兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和的問題．從x=2開始，在每個(gè)周期上，f（x） 和 g（x）都有兩個(gè)交點(diǎn)，在區(qū)間[2，2014]上，函數(shù)g（x） 共有1006個(gè)周期，因此和函數(shù)f（x）有2012個(gè)交點(diǎn)，因此在區(qū)間[-2012，0]上也有2012個(gè)交點(diǎn)．m是兩個(gè)函數(shù)的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則2-m也是兩個(gè)函數(shù)的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)橐还灿?012對這樣的交點(diǎn)，故所有根之和等于2×2012=4024

解答 解：函數(shù)f（x）=2（x-1）sinπx-1的零點(diǎn)，
即方程2（x-1）sinπx-1=0的根，
即方程2sinπx=$\frac{1}{x-1}$的根，
由f（x）=$\frac{1}{x-1}$，g（x）=2sinπx的圖象均關(guān)于（1，0）點(diǎn)對稱，
且在g（x）=2sinπx的每一個(gè)周期上均有兩個(gè)交點(diǎn)，
故從x=2開始，在每個(gè)周期上，f（x） 和 g（x）都有兩個(gè)交點(diǎn)，
在區(qū)間[2，2014]上，函數(shù)g（x） 共有1006個(gè)周期，因此和函數(shù)f（x）有2012個(gè)交點(diǎn)，
因此在區(qū)間[-2012，0]上也有2012個(gè)交點(diǎn)，
且對每一個(gè)交點(diǎn)，相對于（1，0）中心對稱的點(diǎn)也是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)．
而每對這樣的交點(diǎn)之和為2，即若m是兩個(gè)函數(shù)的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則2-m也是兩個(gè)函數(shù)的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
因?yàn)橐还灿?012對這樣的交點(diǎn)．
所以，在區(qū)間[-2012，2014]上，兩個(gè)函數(shù)所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為2012×2=4024，
故選：B

點(diǎn)評 本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，屬于中檔題