Question

1．已知梯形ABCP，如圖（1）所示，D是CP邊的中點，AB∥PC，且2AB=PC，△APD為等邊三角形，現(xiàn)將平面APD沿AD翻折，使平面APD⊥平面ABCD，得到如圖（2）所示的四棱錐P-ABCD，點M在棱PC上，且PM=$\sqrt{3}$MC．
（1）證明：AD⊥PB；
（2）求二面角P-AD-M的大�。�

Answer 1

分析 （1）取AD中點O，連結(jié)OP，OB，由已知條件推導(dǎo)出AD⊥平面POB，由此能證明AD⊥PB．
（2）分別以射線OB，OD，OP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-AD-M的大�。�

解答 （1）證明：取AD中點O，連結(jié)OP，OB，
依題意得△PAD，△ABD均為正三角形，∴OB⊥AD，OP⊥AD，
又OP∩OB=O，OB?平面POB，OP?平面POB，
∴AD⊥平面POB，
又PB?平面POB，∴AD⊥PB．
（2）解：分別以射線OB，OD，OP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)CD=2，則P（0，0，$\sqrt{3}$），A（0，-1，0），D（0，1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（$\sqrt{3}$，2，0），
則$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$，2，-$\sqrt{3}$），
由點M在PC上，且PM=$\sqrt{3}PC$，得M（$\frac{3}{\sqrt{3}-1}，\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}，\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{3}{\sqrt{3}+1}，\frac{3\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}，\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$），$\overrightarrow{AD}=（0，2，0）$，
設(shè)平面MAD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{3}{\sqrt{3}+1}x+\frac{3\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}y+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），
又平面PAD的一個法向量為$\overrightarrow{OC}$=（$\sqrt{3}，0，0$），
設(shè)二面角P-AD-M的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OC}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{2•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴二面角P-AD-M的大小為60°．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運(yùn)用，注意空間思維能力的培養(yǎng)．