Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f″（x），若在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）“凸函數(shù)“；已知f（x）=

1

12

x⁴-

m

6

x³-

3

2

x²在（1，3）上為“凸函數(shù)”，則實數(shù)取值范圍是（　　）

• A、（-∞，

  31

  9

  ）
• B、[

  31

  9

  ，5]
• C、（-∞，-2）
• D、[2，+∞）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：函數(shù)在區(qū)間（1，3）上為“凸函數(shù)”，所以f″（x）＜0，即對函數(shù)y=f（x）二次求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為不等式問題解決即可；

解答： 解：∵f（x）=

1

12

x⁴-

m

6

x³-

3

2

x²，
∴f′（x）=

1

3

x³-

m

2

x²-3x，
∴f″（x）=x²-mx-3，
∵f（x）為區(qū)間（1，3）上的“凸函數(shù)”，則有f″（x）=x²-mx-3＜0在區(qū)間（1，3）上恒成立，
∴

f″(1)≤0 f″(3)≤0

，
解得m≥2
故選：D．

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題的解法，關(guān)鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識遷移與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．