【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中a,b∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)存在極值點x0 , 且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0 , 求證:x1+2x0=0;
(3)設(shè)a>0,函數(shù)g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區(qū)間[﹣1,1]上的最大值不小于

【答案】
(1)

解:若f(x)=x3﹣ax﹣b,則f′(x)=3x2﹣a,

分兩種情況討論:

①、當a≤0時,有f′(x)=3x2﹣a≥0恒成立,

此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞,+∞),

②、當a>0時,令f′(x)=3x2﹣a=0,解得x=- 或x= ,

當x> 或x<﹣ 時,f′(x)=3x2﹣a>0,f(x)為增函數(shù),

當﹣ <x< 時,f′(x)=3x2﹣a<0,f(x)為減函數(shù),

故f(x)的增區(qū)間為(﹣∞,﹣ ),( ,+∞),減區(qū)間為(﹣ ,


(2)

解:若f(x)存在極值點x0,則必有a>0,且x0≠0,

由題意可得,f′(x)=3x2﹣a,則x02= ,

進而f(x0)=x03﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b,

又f(﹣2x0)=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f(x0),

由題意及(Ⅰ)可得:存在唯一的實數(shù)x1,滿足f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,

則有x1=﹣2x0,故有x1+2x0=0;


(3)

解:設(shè)g(x)在區(qū)間[﹣1,1]上的最大值M,max{x,y}表示x、y兩個數(shù)的最大值,

下面分三種情況討論:

①當a≥3時,﹣ ≤﹣1<1≤ ,

由(I)知f(x)在區(qū)間[﹣1,1]上單調(diào)遞減,

所以f(x)在區(qū)間[﹣1,1]上的取值范圍是[f(1),f(﹣1)],

因此M=max{|f(1)|,|f(﹣1)|}=max{|1﹣a﹣b|,|﹣1+a﹣b|}

=max{|a﹣1+b|,|a﹣1﹣b|}= ,

所以M=a﹣1+|b|≥2

②當 a<3時, ,

由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)≥ =f( ),f(1)≤ = ,

所以f(x)在區(qū)間[﹣1,1]上的取值范圍是[f( ),f(﹣ )],

因此M=max{|f( )|,|f(﹣ )|}=max{| |,| |}

=max{| |,| |}= ,

③當0<a< 時, ,

由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)< =f( ),f(1)> = ,

所以f(x)在區(qū)間[﹣1,1]上的取值范圍是[f(﹣1),f(1)],

因此M=max{|f(﹣1)|,|f(1)|}=max{|﹣1+a﹣b|,|1﹣a﹣b|}

=max{|1﹣a+b|,|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|> ,

綜上所述,當a>0時,g(x)在區(qū)間[﹣1,1]上的最大值不小于


【解析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),討論a≤0時f′(x)≥0,f(x)在R上遞增;當a>0時,由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;
(2)由條件判斷出a>0,且x0≠0,由f′(x0)=0求出x0 , 分別代入解析式化簡f(x0),f(﹣2x0),化簡整理后可得證;
(3)設(shè)g(x)在區(qū)間[﹣1,1]上的最大值M,根據(jù)極值點與區(qū)間的關(guān)系對a分三種情況討論,運用f(x)單調(diào)性和前兩問的結(jié)論,求出g(x)在區(qū)間上的取值范圍,利用a的范圍化簡整理后求出M,再利用不等式的性質(zhì)證明結(jié)論成立.
本題考查導(dǎo)數(shù)的運用:求單調(diào)區(qū)間和最值,不等式的證明,注意運用分類討論的思想方法和轉(zhuǎn)化思想,考查分析法在證明中的應(yīng)用,以及化簡整理、運算能力,屬于難題.

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