Question

【題目】已知函數(shù)的最小值為．

⑴設(shè)，求證： 在上單調(diào)遞增；

⑵求證： ；

⑶求函數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】⑴見解析⑵見解析⑶見解析

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)求出，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號變換得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由⑴可知在上單調(diào)遞增，再利用零點存在定理及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解；（3）分離參數(shù)，合理構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

試題解析：⑴

∵

∴在上單調(diào)遞增

⑵由⑴可知在上單調(diào)遞增

∵

∴存在唯一的零點，設(shè)為，則 且

當(dāng)時， ；當(dāng)時，

從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

所以的最小值

∵ ∴ ∴

∴（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）

∵ ∴

（第二問也可證明，從而得到）

⑶

同⑴方法可證得在上單調(diào)遞增

∵

∴

∴存在唯一的零點，設(shè)為，則 且

所以的最小值為

∵ ∴

∴，即

由⑵可知

∴=

∵在上單調(diào)遞增

∴

所以的最小值為