Question

甲、乙兩個進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為

2

3

，乙在每局中獲勝的概率為

1

3

，且各局勝負(fù)相互獨立．
（1）求甲在打的局?jǐn)?shù)最少的情況下獲勝的概率；
（2）求比賽停止時已打局?jǐn)?shù)ξ的期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）由甲在每局中獲勝的概率為

2

3

，可得甲在打的局?jǐn)?shù)最少的情況下獲勝的概率；
（2）ξ的所有可能值為2，4，6．設(shè)每兩局比賽為一輪，求出該輪結(jié)束時比賽停止的概率，由此能求出ξ的分布列，由ξ的分布列能求出Eξ．

解答： 解：（1）甲在打兩局的情況下獲勝的概率為P=

2

3

×

2

3

=

4

9

；
（2）ξ的可能取值為2、4、6，則PP（ξ=2）=(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

，
P（ξ=4）=

C

1 2

•

2

3

•

1

3

•[(

2

3

)2+(

1

3

)2]=

20

81

，P（ξ=6）=

C

1 2

C

1 2

(

2

3

)2(

1

3

)2=

16

81

，
故ξ的分布列為

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

ξ的期望Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．

點評：本題考查互斥事件的概率和公式、考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式、考查事隨機變量的分布列的求法、考查隨機變量的期望公式．