Question

12．設(shè)等比數(shù)列的前n項和為S_n，積為P_n，倒數(shù)的和為T_n，求證：P_n²=（$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$）ⁿ．

Answer 1

分析 分公比為是否為1兩種情況討論，利用等比數(shù)列的通項與求和公式，計算即得結(jié)論．

解答 證明：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則：
①當(dāng)q=1時，S_n=na₁，T_n=$\frac{n}{{a}_{1}}$，P_n=a₁ⁿ=${{a}_{1}}^{n}$，
∴P_n²=${{a}_{1}}^{2n}$=$（\frac{n{a}_{1}}{\frac{n}{{a}_{1}}}）^{n}$=（$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$）ⁿ；
②當(dāng)q≠1時，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，T_n=$\frac{q（{q}^{n}-1）}{{a}_{1}{q}^{n}（q-1）}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=${{a}_{1}}^{2}{q}^{n-1}$，
又∵P_n=a₁a₂…a_n
=（a₁）ⁿ•q^{1+2+…+（n-1）}
=${{a}_{1}}^{n}{q}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
∴P_n²=a²ⁿq^n（n-1）=（$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$）ⁿ；
綜上所述，P_n²=（$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$）ⁿ．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項與求和公式，考查學(xué)生的計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．