Question

若方程nsinx+（n+1）cosx=n+2在0＜x＜π上有兩個不等實根，則正整數(shù)n的最小值為（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：運用兩角和的正弦公式，化簡方程得

n2+(n+1)2

sin（x+θ）=n+2，則方程有解的條件為n²+（n+1）²≥（n+2）²，解得，n≥3或n≤-1．分別對n=3，4討論方程的解的個數(shù)即可判斷．

解答： 解：方程nsinx+（n+1）cosx=n+2，
即為

n2+(n+1)2

sin（x+θ）=n+2，
則方程有解的條件為n²+（n+1）²≥（n+2）²，
即為n²-2n-3≥0，解得，n≥3或n≤-1．
由于n為正整數(shù)，則n≥3．
當(dāng)n=3時，方程為3sinx+4cosx=5，
則

3

5

sinx+

4

5

cosx=1，即有sin（x+θ）=1．
x+θ=2kπ+

π

2

，k∈Z，（tanθ=

4

3

）
由于0＜x＜π，0＜θ＜π，則k=0，即有x=

π

2

-θ，
則方程只有一解；
當(dāng)n=4時，方程為4sinx+5cosx=6，
則有sin（x+θ）=

6

41

，（tanθ=

5

4

），
x+θ=2kπ+arcsin

6

41

或2kπ+π-arcsin

6

41

，
由于0＜x＜π，0＜θ＜π，則k=0，即有x=arcsin

6

41

-θ或π-arcsin

6

41

-θ．
則方程有兩解．
故選B．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和方程的求解，考查兩角和的正弦公式的運用，考查三角函數(shù)的求值，屬于中檔題．