Question

【題目】如圖，在四面體ABCD中，AC＝6，BA＝BC＝5，AD＝CD＝3 .

（1）求證：AC⊥BD；

（2）當四面體ABCD的體積最大時，求點A到平面BCD的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取AC的中點O，連接OB與OD，證明AC⊥平面OBD，即可得證；

（2）當四面體ABCD的體積最大時，平面DAC⊥平面ABC，利用等體積法求解點到平面距離.

（1）證明：

如圖，取AC的中點O，連接OB與OD，∵BA＝BC，

∴AC⊥OB ∵AD＝CD，∴AC⊥OD，又OD∩OB＝O，

∴AC⊥平面OBD，又BD平面OBD，∴AC⊥BD.

（2）由題可知，當四面體ABCD的體積最大時，平面DAC⊥平面ABC，∵DO⊥AC，

∴DO⊥平面ABC，又OB平面ABC，∴DO⊥OB，

∵DA＝DC＝3，AC＝6，AB＝BC＝5，∴OD＝＝＝3，

OB＝＝＝4，∴DB＝＝＝5，

又BC＝5，

∴在△BCD中，CD邊上的高h＝＝＝，

∴S△BCD＝×CD×h＝×3×＝，S△ABC＝×AC×OB＝×6×4＝12.

設點A到平面BCD的距離為d，∴VABCD＝VDABC，即S△BCD×d＝S△ABC×OD，

∴d＝＝＝，∴點A到平面BCD的距離為.