Question

函數(shù)f′（x）是R上的可導(dǎo)函數(shù)，x≠0時(shí)，f′（x）+

f(x)

x

＞0，則函數(shù)g（x）=f（x）+

1

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：

分析：①x＞0時(shí)，由 xf'（x）+f（x）=（xf（x））'＞0，得g（x）＞

1

x

對(duì)任何大于零的x成立，所以顯然在x軸正半軸不可能有零點(diǎn)；
②x＜0時(shí)，由xf'（x）+f（x）＜0，得g（x）=

xf(x)+1

x

＜

1

x

，此時(shí)

1

x

總是負(fù)數(shù)，小于

1

x

是不可能與x軸有交點(diǎn)的．所以沒有零點(diǎn)．

解答： 解：①x＞0時(shí)，已知條件就是在說：xf'（x）+f（x）=（xf（x））'＞0，
由于g（x）=

xf(x)+1

x

，且xf（x）＞0f（0）=0，
∴g（x）＞

1

x

對(duì)任何大于零的x成立，所以顯然在x軸正半軸不可能有零點(diǎn)；
②x＜0時(shí)，已知條件就是在說 xf'（x）+f（x）＜0，
∴xf（x）＞0f（0）=0 （x＜0），
∴g（x）=

xf(x)+1

x

＜

1

x

，
此時(shí)

1

x

總是負(fù)數(shù)，小于

1

x

是不可能與x軸有交點(diǎn)的．
所以沒有零點(diǎn)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．