Question

已知一條曲線C₁在y軸右邊，C₁上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1，C₂：

x2

4

+

y2

3

=1，過(guò)點(diǎn)F的直線l交C₁于A，C兩點(diǎn)，交C₂于B，D兩點(diǎn)，
（1）求曲線C₁方程．
（2）是否存在直線l，使k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0（k_OA，k_OB，k_OC，k_OD為斜率），若存在，求出所有滿足條件的直線l；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)M（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)M（x，y）滿足

(x-1)2+y2

-x=1（x＞0），由此能求出曲線C₁的方程．
（2）假設(shè)存在直線l，使k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0．①設(shè)直線l：x=1，求出l與拋物線的交點(diǎn)A，C，與橢圓的交點(diǎn)B，D，判斷斜率之和是否為0；②設(shè)直線l：y=k（x-1），聯(lián)立拋物線y²=4x，運(yùn)用韋達(dá)定理，和斜率公式，化簡(jiǎn)
k_OA+K_OC=-

4

k

，直線l與橢圓方程3x²+4y²=12聯(lián)立消去y，得到關(guān)于x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和斜率公式，得到k_OB+k_OD=-

6k

k2-3

，再由k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0，解出k即可．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y）是曲線C₁上任意一點(diǎn)，
那么點(diǎn)M（x，y）滿足

(x-1)2+y2

-x=1（x＞0）
化簡(jiǎn)，得拋物線方程：y²=4x（x＞0）．
（2）假設(shè)存在直線l，使k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0．
①設(shè)直線l：x=1，則l與拋物線的交點(diǎn)為A（1，2），C（1，-2），
l與橢圓的交點(diǎn)為B（1，

3

2

），D（1，-

3

2

），即有k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0．
②設(shè)直線l：y=k（x-1），聯(lián)立拋物線y²=4x，得

k

4

y²-y-k=0，y₁+y₂=

4

k

，
y₁y₂=-4．則k_OA+K_OC=

y1

x1

+

y2

x2

=

4y1

y12

+

4y2

y22

=4•

y1+y2

y1y2

=-

4

k

，
直線l與橢圓方程3x²+4y²=12聯(lián)立消去y，得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
x₃+x₄=

8k2

3+4k2

，x₃x₄=

4k2-12

3+4k2

，
k_OB+k_OD=

y3

x3

+

y4

x4

=

k(x3-1)

x3

+

k(x4-1)

x4

=2k-k•

x3+x4

x3x4

=2k-k•

8k2

4k2-12

=-

6k

k2-3

，
由k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0即-

4

k

-

6k

k2-3

=0，k=±

30

5

．
即直線l的方程為：y=±

30

5

（x-1）．
綜上，所有滿足條件的直線l為：x=1或y=±

30

5

（x-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法：直接法，注意化簡(jiǎn)等價(jià)性，同時(shí)考查直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和斜率公式，化簡(jiǎn)求解的能力，屬于中檔題．