Question

【題目】將數(shù)列的前項(xiàng)分成兩部分，且兩部分的項(xiàng)數(shù)分別是，若兩部分和相等，則稱數(shù)列的前項(xiàng)的和能夠進(jìn)行等和分割.

（1）若，試寫出數(shù)列的前項(xiàng)和所有等和分割；

（2）求證：等差數(shù)列的前項(xiàng)的和能夠進(jìn)行等和分割；

（3）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，且數(shù)列的前項(xiàng)的和能夠進(jìn)行等和分割，求所有滿足條件的.

Answer 1

【答案】（1）或； （2）見(jiàn)解析； （3）或.

【解析】

（1）直接利用數(shù)列的通項(xiàng)公式分別計(jì)算出前四項(xiàng)的大小，再進(jìn)行等和分割，即可求解；

（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可以得到，進(jìn)而可以得出前項(xiàng)與后項(xiàng)的和相等；

（3）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求出前n項(xiàng)和，分別討論或時(shí)滿足等和分割條件的結(jié)果.

（1）由題意，數(shù)列，

可得，

則或.

（2）由數(shù)列為等差數(shù)列，所以，

將上述個(gè)兩式子分成兩部分，可得其和是相等的，

所以等差數(shù)列的前項(xiàng)的和能夠進(jìn)行等和分割.

（3）數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，且數(shù)列的前項(xiàng)的和能夠進(jìn)行等和分割，

可得為偶數(shù)，所以或，

當(dāng)時(shí)，由（2）可知，數(shù)列可以進(jìn)行等和分割；

當(dāng)時(shí)，可首先考慮，

則可分割成兩部分，所以，

即時(shí)，前項(xiàng)能進(jìn)行等和分割，

當(dāng)時(shí)，前項(xiàng)為，

由（2）可得能分成等和的兩部分，

分別把兩部分進(jìn)行加入，可得兩部分和相等，

即或.