Question

3．設$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是單位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，則$（{\overrightarrow a-\overrightarrow c}）•（{\overrightarrow b-\overrightarrow c}）$的最小值為1-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 不妨設$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），滿足x²+y²=1，則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=1-（x+y），然后利用基本不等式可求出最小值．

解答 解：不妨設$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
滿足x²+y²=1，
∵（x+y）²≤2（x²+y²）=2，
∴x+y≤$\sqrt{2}$，
則-（x+y）≥-$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=（1-x，-y），$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$=（-x，1-y），
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=-x+x²-y+y²
=1-（x+y）≥1-$\sqrt{2}$．
即$（{\overrightarrow a-\overrightarrow c}）•（{\overrightarrow b-\overrightarrow c}）$的最小值為1-$\sqrt{2}$．
故答案為：1-$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，以及構造法的運用和基本不等式的考查，屬于中檔題．