Question

18．已知函數f（x）=ax+lnx，x∈[1，+∞）
（1）若f′（x₀）=$\frac{f（e）-f（1）}{e-1}$，求x₀的值；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，化簡整理，即可解得所求值；
（2）由題意可得f′（x）=a+$\frac{1}{x}$≤0在[1，+∞）上恒成立，即有a≤-$\frac{1}{x}$的最小值，由單調性即可求得a的范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=ax+lnx的導數為
f′（x）=a+$\frac{1}{x}$，
即有f′（x₀）=a+$\frac{1}{{x}_{0}}$=
$\frac{f（e）-f（1）}{e-1}$=$\frac{ae+1-（a+0）}{e-1}$=a+$\frac{1}{e-1}$，
解得x₀=e-1；
（2）由函數f（x）在[1，+∞）上單調遞減，可得
f′（x）=a+$\frac{1}{x}$≤0在[1，+∞）上恒成立，
即有a≤-$\frac{1}{x}$的最小值，由x≥1，可得-$\frac{1}{x}$≥-1．
則有a≤-1．
即有a的取值范圍是（-∞，-1]．

點評 本題考查導數的運用：求單調區(qū)間，考查不等式恒成立問題的解法，注意轉化為求函數的最值，屬于中檔題．