Question

拋物線C的頂點在原點，焦點F與雙曲線

x2

3

-

y2

6

=1的右焦點重合，過點P（2，0）且斜率為1的直線l與拋物線C交于A，B兩點，則弦AB的中點到拋物線準線的距離為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用焦點F與雙曲線

x2

3

-

y2

6

=1的右焦點重合，求出拋物線方程，過點P（2，0）且斜率為1的直線l的方程為y=x-2，代入拋物線方程，利用韋達定理，結合拋物線的定義，即可得出結論．

解答： 解：設拋物線方程為y²=2px（p＞0），則
∵焦點F與雙曲線

x2

3

-

y2

6

=1的右焦點重合，
∴F（3，0），
∴

p

2

=3，
∴p=6，
∴拋物線方程為y²=12x．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
過點P（2，0）且斜率為1的直線l的方程為y=x-2，代入拋物線方程得x²-16x+4=0
∴x₁+x₂=16，
∴弦AB的中點到拋物線的準線的距離為

x1+x2+p

2

=11．
故答案為：11．

點評：本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．