Question

意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于他前而兩個(gè)數(shù)的和．該數(shù)列是一個(gè)非常美麗、和諧的數(shù)列，有很多奇妙的屬性．比如：隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越逼近黃金分割0.6180339887…．人們稱該數(shù)列{a_n}為“斐波那契數(shù)列”．若把該數(shù)列{a_n}的每一項(xiàng)除以4所得的余數(shù)按相對(duì)應(yīng)的順序組成新數(shù)列{b_n}，在數(shù)列{b_n}中第2014項(xiàng)的值是

 

；數(shù)列{b_n}中，第2014個(gè)值為1的項(xiàng)的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列，得到余數(shù)構(gòu)成是數(shù)列是周期數(shù)列，即可得到結(jié)論．

解答： 解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余數(shù)分別為1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，
即新數(shù)列{b_n}是周期為6的周期數(shù)列，
b₂₀₁₄=b_235×6+4=b₄=3，
在每一個(gè)周期內(nèi)，含有3個(gè)1，
2014=671×3+1，
∴第2014個(gè)值為1是項(xiàng)，位于第672個(gè)周期內(nèi)的第一個(gè)1，
則671×6+1=4027，
故答案為：3；4027

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，利用條件推導(dǎo)數(shù)列為周期數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．