Question

已知直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)M（1，1），且與橢圓

x2

25

+

y2

16

=1相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)l₂：x+5y=0上，求直線(xiàn)l₁的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y-1=k（x-1），代入整理得（16+25k²）x²+50k（1-k）x+25（1-k）²-400=0，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出AB的中點(diǎn)，代入直線(xiàn)x+5y=0，解得k，由此能求出直線(xiàn)AB的方程．

解答： 解：由于直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)M（1，1），則設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y-1=k（x-1），
即有y=kx+1-k，代入橢圓方程

x2

25

+

y2

16

=1，
消去y，得，（16+25k²）x²+50k（1-k）x+25（1-k）²-400=0，
判別式2500k²（1-k）²-4（16+25k²）[25（1-k）²-400]＞0，
x₁+x₂=

50k(k-1)

16+25k2

，
則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2（1-k）=

32-32k

16+25k2

，
則有AB的中點(diǎn)為（

25k(k-1)

16+25k2

，

16-16k

16+25k2

），
由于線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)l₂：x+5y=0上，則有
25k（k-1）+5（16-16k）=0，
解得，k=1或

16

5

．
代入判別式檢驗(yàn)大于0成立．
則所求直線(xiàn)方程為：y=x或y=

16

5

x-

11

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程及應(yīng)用，考查聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．