Question

直線x=

a2

c

與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線交于A、B兩點(diǎn)，離直線最近的焦點(diǎn)為F，若以AB為直徑的圓恰過F點(diǎn)，則雙曲線的焦距與虛軸長之比為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意寫出雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線方程為y=±

b

a

x；從而求得點(diǎn)A（

a2

c

，

ab

c

）；從而得到點(diǎn)F到直線x=

a2

c

的距離d=c-

a2

c

=

b2

c

；再利用以AB為直徑的圓恰過F點(diǎn)求得a=b；從而解得．

解答： 解：由題意，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線方程為y=±

b

a

x；
故不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方，
則y=

b

a

•

a2

c

=

ab

c

；即點(diǎn)A（

a2

c

，

ab

c

）；
F（c，0）；
則點(diǎn)F到直線x=

a2

c

的距離d=c-

a2

c

=

b2

c

；
∵以AB為直徑的圓恰過F點(diǎn)，
∴

b2

c

=

ab

c

；
即a=b；
故c=

2

b；
則雙曲線的焦距與虛軸長之比為2

2

b：2b=

2

；
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．