Question

已知數(shù)列{a_n}滿足

u

=（a_n+1，n+1），

v

=（a_n，n）且

u

-

v

=λ（2，1）
（1）證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為奇數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，若S_n最小值為-16，求a₁．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

an+1-an=2λ n+1-n=λ

，所以a_n+1-a=2，由此能證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（2）由已知條件得S_n=na₁+

n(n-1)

2

×2=（n-

a1-1

2

）²-

(a1-1)2

4

，所以

(a1-1)2

4

=16，由此能求出a₁．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足

u

=（a_n+1，n+1），

v

=（a_n，n）且

u

-

v

=λ（2，1），
∴

an+1-an=2λ n+1-n=λ

，∴a_n+1-a=2，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（2）解：數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為奇數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，S_n最小值為-16，
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

×2
=n²+（a₁-1）n
=（n-

a1-1

2

）²-

(a1-1)2

4

，
∴

(a1-1)2

4

=16，
解得a₁=9，或a₁=-7．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的首項(xiàng)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意配方法的合理運(yùn)用．