Question

如圖1在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD且AB=AD=

1

2

CD=1，現以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿AD將正方形翻折，使平面ADEF與平面ABCD互相垂直如圖2．

（1）求證：平面BDE⊥平面BEC；
（2）求直線BD與平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知條件推導出ED⊥平面ABCD，BC⊥平面EBD，由此能證明平面EBD⊥平面EBC．
（2）由AD∥平面BEF，得D到平面BEF的距離與A到平面BEF的距離相等，過A作EB的垂線垂足為H，A到平面BEF的距離為AH，由此能求出直線BD與平面BEF所成角的正弦值．

解答： （本小題滿分14分）
（1）證明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，
又∵ADEF是正方形，∴ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，
又∵平面EDB⊥平面ABCD，
又∵ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=

1

2

CD=1，
得DB=BC=

2

，∴BD²+BC²=DC²，
∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD，∴BC⊥平面EBD，
∴平面EBD⊥平面EBC．…（7分）
（2）解：∵ADEF是正方形，∴AD∥EF，
∵EF?平面BEF，AD?G平面BEF，∴AD∥平面BEF，
∴D到平面BEF的距離與A到平面BEF的距離相等，
又∵AD⊥AF，AD⊥AB，
∴AD⊥平面BEF，∵AD∥EF，∴EF⊥平面ABF，
∴平面ABF⊥平面BEF，
過A作EB的垂線垂足為H，則AH⊥平面BEF，
∴A到平面BEF的距離為AH，
∵AB=AF=1，∴AH=

2

2

，…（12分）
又∵BD=

2

，設BD與平面BEF所成角為θ，
則sinθ=

AH

BD

=

1

2

．…（14分）

點評：本題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面位置關系等基礎知識；考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力．