Question

6．已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=a${\;}^{lg（{x}^{2}-2x+3）}$有最大值，則不等式log_a（x²-5x+7）＞0的解集為（2，3）．

Answer 1

分析 根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，求出0＜a＜1，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．

解答 解：設(shè)t=lg（x²-2x+3）=lg[（x-1）²+2]≥lg2，
若a＞1，則f（x）≥a^lg2，此時(shí)函數(shù)有最小值，不滿足條件．．
若0＜a＜1，則f（x）≤a^lg2，此時(shí)函數(shù)有最大值，滿足條件．
則不等式log_a（x²-5x+7）＞0等價(jià)為0＜x²-5x+7＜1，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+7＞0}\\{{x}^{2}-5x+6＜0}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{x∈R}\\{2＜x＜3}\end{array}\right.$，
解得2＜x＜3，
即不等式的解集為（2，3），
故答案為：（2，3）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求出a的取值范圍，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．