Question

17．求函數(shù)y=$\frac{5{x}^{2}+9x+4}{{x}^{2}+1}$的值域．

Answer 1

分析 根據原函數(shù)解析式可以想到將原函數(shù)變成關于x的方程的形式：（y-5）x²-9x+y-4=0，根據方程有解即可求出原函數(shù)值域：要討論y=5，和y≠5，y=5時顯然可以，y≠5時，方程便是一元二次方程，從而根據△≥0即可得出y的范圍，最后即可得出原函數(shù)值域．

解答 解：原函數(shù)變成：yx²+y=5x²+9x+4；
整理成關于x的方程，（y-5）x²-9x+y-4=0（1），方程有解；
①若y=5，此時滿足上面方程有解；
②若y≠5，則方程（1）為一元二次方程，方程有解；
∴△=81-4（y-5）（y-4）≥0；
解得$\frac{9-\sqrt{82}}{2}≤y≤\frac{9+\sqrt{82}}{2}$；
∴原函數(shù)的值域為：$[\frac{9-\sqrt{82}}{2}，\frac{9+\sqrt{82}}{2}]$．

點評 考查形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函數(shù)的值域求法：將原函數(shù)變成關于x方程的形式，一元二次方程有解時判別式△的取值情況，要討論y=5和y≠5兩種情況．