Question

8．已知：n∈N^*，$\overrightarrow{c}$=（1，1），向量$\overrightarrow{{a}_{n}}$和$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$滿足：$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$+$\overrightarrow{c}$，且$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（1，-7）．
（1）試求向量$\overrightarrow{{a}_{n}}$的模的最小值；
（2）是否存在m，n∈N^*，使得$\overrightarrow{{a}_{n}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{m}}$．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{{a}_{n}}-\overrightarrow{{a}_{n-1}}=\overrightarrow{c}$，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、向量模的計(jì)算公式即可得出；
（2）假設(shè)存在m，n∈N^*，使得$\overrightarrow{{a}_{n}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{m}}$．則$\overrightarrow{{a}_{n}}•\overrightarrow{{a}_{m}}$=0，化為nm-4（n+m）+32=0，變形為：n=4-$\frac{16}{m-4}$，對(duì)m討論即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{{a}_{n}}-\overrightarrow{{a}_{n-1}}=\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}+（n-1）\overrightarrow{c}$=（1，-7）+（n-1）（1，1）=（n，n-8）．
∴$|\overrightarrow{{a}_{n}}|$=$\sqrt{{n}^{2}+（n-8）^{2}}$=$\sqrt{2（n-4）^{2}+32}$$≥\sqrt{32}$=4$\sqrt{2}$，
因此當(dāng)n=4時(shí)，$|\overrightarrow{{a}_{n}}|$取得最小值4$\sqrt{2}$．
（2）設(shè)存在m，n∈N^*，使得$\overrightarrow{{a}_{n}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{m}}$．
則$\overrightarrow{{a}_{n}}•\overrightarrow{{a}_{m}}$=（n，n-8）（m，m-8）=nm+（n-8）（m-8）=0，
化為nm-4（n+m）+32=0，
∴n=4-$\frac{16}{m-4}$，
當(dāng)m=2時(shí)，n=12；當(dāng)m=3時(shí)，n=20；當(dāng)m=12時(shí)，n=2；當(dāng)m=20時(shí)，n=3．
∴存在m，n∈N^*，使得$\overrightarrow{{a}_{n}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{m}}$．
分別為$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=12}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=20}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=12}\\{n=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=20}\\{n=3}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、向量模的計(jì)算公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．