Question

20．已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）+g（x）=$\frac{{4x}^{2}+x}{{2x}^{2}+1}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式f（kx²）-f（x-x²-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先將“x”用“-x”代入，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性進(jìn)行化簡，從而求出函數(shù)f（x）的解析式，并確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式f（kx²）-f（x-x²-2）＜0對任意x∈R恒成立，可得|kx²|＞|x-x²-2|，分離參數(shù)，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
∵f（x）+g（x）=$\frac{{4x}^{2}+x}{{2x}^{2}+1}$，①
∴f（-x）+g（-x）=$\frac{4{x}^{2}-x}{2{x}^{2}+1}$，
∴f（x）-g（x）=$\frac{4{x}^{2}-x}{2{x}^{2}+1}$，②
由①、②得：f（x）=$\frac{4{x}^{2}}{2{x}^{2}+1}$=2-$\frac{2}{2{x}^{2}+1}$，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，+∞），單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0）；
（2）∵不等式f（kx²）-f（x-x²-2）＜0對任意x∈R恒成立，
∴f（kx²）＜f（x-x²-2），
∵f（x）是偶函數(shù)，單調(diào)減區(qū)間是（0，+∞），
∴|kx²|＞|x-x²-2|，
∴|k|＞1-$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∵1-$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$=$2（\frac{1}{x}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{7}{8}$≥$\frac{7}{8}$，
∴|k|＞$\frac{7}{8}$，
∴k$＜-\frac{7}{8}$或k＞$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查恒成立問題，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．