Question

（本題滿分12分）

“坐標(biāo)法”是以坐標(biāo)系為橋梁，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運(yùn)算研究圖形的幾何性質(zhì)的方法，它是解析幾何中是基本的研究方法. 請(qǐng)用坐標(biāo)法證明下面問題：

已知圓O的方程是，點(diǎn)，P、Q是圓O上異于A的兩點(diǎn).證明：弦PQ是圓O直徑的充分必要條件是.

Answer 1

詳見解析.

【解析】

試題分析：若,即.設(shè)直線AP的方程是.與圓方程聯(lián)立消去可得關(guān)于的一元二次方程.從而可求得點(diǎn)坐標(biāo).同理可得點(diǎn)坐標(biāo).可得的坐標(biāo).根據(jù)坐標(biāo)可得.從而可知三點(diǎn)共線,即是圓直徑; 若弦是圓的直徑,可設(shè).根據(jù)向量數(shù)量積公式可得.

試題解析：證明: 充分性, 若,即,

設(shè)直線AP的方程是， 代入得 2分

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因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062406033083487503/SYS201506240603365850701377_DA/SYS201506240603365850701377_DA.002.png">，所以直線AQ的方程

以代換點(diǎn)Q坐標(biāo)中的，得 5分

顯然,即弦是圓的直徑 6分

（Ⅱ）必要性

若弦是圓的直徑,設(shè)，

10分

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考點(diǎn)：1充分必要條件;2向量數(shù)量積.