Question

如圖，底面為直角梯形的四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，E為A₁B₁的中點，且△ABE為等腰直角三角形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC.

(1)求證：AB⊥DE；

(2)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；

(3)線段EA上是否存在點F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)證明：取AB中點O，連接EO，DO.

因為EB＝EA，所以EO⊥AB.

因為四邊形ABCD為直角梯形，

AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，

所以四邊形OBCD為正方形，

所以AB⊥OD.

又EO，OD為平面EOD內(nèi)的兩條相交直線，

所以AB⊥平面EOD.

因為ED⊂平面EOD，

所以AB⊥ED.

(2)因為AA₁⊥平面ABCD，且EO∥AA₁，

所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.

由OD，OA，OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz.

因為△EAB為等腰直角三角形，

所以OA＝OB＝OD＝OE，設(shè)OB＝1，

則O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0，－1,0)，C(1，－1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)．

所以＝(1，－1，－1)，平面ABE的一個法向量為＝(1,0,0)．

設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為θ，

所以sin θ＝＝，

即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為.

(3)存在點F，且＝時，有EC∥平面FBD.證明如下：

設(shè)平面FBD的法向量為ν＝(a，b，c)，

取a＝1，

得ν＝(1，－1,2)．

因為·ν＝(1，－1，－1)·(1，－1,2)＝0，

即⊥ν；

又因為EC⊄平面FBD，

所以EC∥平面FBD.

因此當(dāng)點F滿足＝時，有EC∥平面FBD.