精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐的P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD且AP=AB=3，
AD=
3
，∠ABC=60°．
（Ⅰ）點F為線段PB上一點，PF：FB=2，求證：CF∥面ADP；
（Ⅱ）求二面角F-AC-B的余弦值．
分析：（I）過點C做AB的垂線CE，E為垂足，我們易求出AE的值，進而A為原點建立空間直角坐標系，求出直線CF的方向向量和平面ADP的法向量，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，得到兩個向量垂直，進而得到CF∥面ADP；
（Ⅱ）分別求出平面FAC和平面ABC的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角F-AC-B的余弦值．
解答：證明：（I）過點C做AB的垂線CE，E為垂足
∵AB⊥AD
∴AD∥CE
又∵AB∥CD
∴四邊形ABCD為平行四邊形
∴CE=AD=
3

在Rt△BCE中，CE=BEtan60°
∴BE=1
∴AE=2…3分
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），C（
3
，2，0）
∵PF：FB=2：1
∴F（0，2，1）
∵
CF
=（-
3
，0，1），
AB
=（0，3，0）
又∵
CF
•
AB
=0，
∴
CF
⊥
AB
，
∵AB⊥平面ADP，即平面ADP的法向量為
AB
，
故CF∥平面ADP…6分
（II）設平面AFC的法向量為
n
=（x，y，z），則
n
⊥
AC
，
n
⊥
FC
，
即
n
•
AC
=0，
n
•
FC
=0，
即
2y+
3
x=0
3
x-z=0

則
n
=（1，-
3
2
，
3
）
又AP⊥平面ACB，故
AP
=（0，0，3）為平面ACB的一個法向量，
∴二面角F-AC-B的余弦值為
|
n
•
AP
|
|
n
|•|
AP
|
=
3
3
3
3
4
+1+3
=
2
57
19
…12分
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及其求法，直線與平面平行的判定，其中（I）的關鍵是證得直線CF的方向向量和平面ADP的法向量垂直，（II）的發(fā)是求出平面FAC和平面ABC的法向量，將二面角問題轉化為向量夾角問題．
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（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
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2
3
3
2
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐的P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD且AP=AB=3，
AD=數(shù)學公式，∠ABC=60°．
（Ⅰ）點F為線段PB上一點，PF：FB=2，求證：CF∥面ADP；
（Ⅱ）求二面角F-AC-B的余弦值．

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如圖，已知四棱錐的P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD且AP=AB=3，
AD=，∠ABC=60°．
（Ⅰ）點F為線段PB上一點，PF：FB=2，求證：CF∥面ADP；
（Ⅱ）求二面角F-AC-B的余弦值．

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