Question

13．己知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都圓x²+y²=1上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為k的直線經(jīng)過點(diǎn)M（2，0），且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，試探討k為何值時(shí)，OA⊥OB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得焦點(diǎn)為（±1，0），短軸的端點(diǎn)為（0，±1），可得b=c=1，求得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=k（x-2），代入橢圓方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，化簡計(jì)算即可得到所求k的值．

解答 解：（I）依題意橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都圓x²+y²=1上，
可得b=1，c=1所以a²=2，
所以橢圓C的方程；$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去y得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，
因?yàn)镺A⊥OB，所以$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-1$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
而${y_1}{y_2}={k^2}（{x_1}-2）（{x_2}-2）$，所以${x_1}{x_2}+{k^2}（{x_1}-2）（{x_2}-2）=0$，
所以$\frac{{（1+{k^2}）（8{k^2}-2）}}{{1+2{k^2}}}-\frac{{16{k^4}}}{{1+2{k^2}}}+4{k^2}=0$，
解得：${k^2}=\frac{1}{5}$，此時(shí)△＞0，所以$k=±\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和兩直線垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．