Question

8．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A和B分別是橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（ a＞b＞0）和C₂：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，且橢圓C₂的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A在x軸上的投影恰為C的右焦點(diǎn)F時(shí)，有S_△AOF=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若C₁與C₂共焦點(diǎn)，且C₁的長軸與C₂的短軸等長，求|$\overrightarrow{AB}$|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，結(jié)合隱含條件可得關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b，c的值，則橢圓C₁方程可求；
（2）由C₁與C₂共焦點(diǎn)，且C₁的長軸與C₂的短軸等長求得橢圓C₂方程，當(dāng)OA所在直線斜率存在且不為0時(shí)，寫出OA、OB所在直線方程，分別與兩橢圓聯(lián)立，求出|OA|²、|OB|²，得到|AB|²，整理后利用基本不等式求得|$\overrightarrow{AB}$|²的取值范圍，當(dāng)線段OA的斜率不存在和斜率k=0時(shí)，|AB|²=4，由此求得答案．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C₁的半焦距為c，由題意可知，$\frac{1}{2}c•\frac{^{2}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
又橢圓C₁的離心率$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且a²=b²+c²，聯(lián)立以上三式可得：
$a=\sqrt{2}，b=1，c=1$，
∴橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由C₁的長軸與C₂的短軸等長，知n=a=$\sqrt{2}$，又C₁與C₂共焦點(diǎn)，
可知$m=\sqrt{{n}^{2}+1}=\sqrt{3}$，
∴橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
當(dāng)線段OA的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)OA：y=kx，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，解得${x}^{2}=\frac{2}{1+2{k}^{2}}，{y}^{2}=\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴$|OA{|}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}=1+\frac{1}{1+2{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，得OB：y=-$\frac{1}{k}x$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，解得${x}^{2}=\frac{6{k}^{2}}{3+2{k}^{2}}，{y}^{2}=\frac{6}{3+2{k}^{2}}$，
∴|OB|²=${x}^{2}+{y}^{2}=3-\frac{3}{3+2{k}^{2}}$，
∴|AB|²=|OA|²+|OB|²=$4+\frac{1}{1+2{k}^{2}}-\frac{3}{3+2{k}^{2}}=4-\frac{4{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）（3+2{k}^{2}）}$
=$4-\frac{4}{8+\frac{3}{{k}^{2}}+4{k}^{2}}＜4$．
又$\frac{3}{{k}^{2}}+4{k}^{2}≥2\sqrt{\frac{3}{{k}^{2}}•4{k}^{2}}=4\sqrt{3}$（當(dāng)${k}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)取等號(hào)），
∴$|AB{|}^{2}≥4-\frac{4}{8+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$．
當(dāng)線段OA的斜率不存在和斜率k=0時(shí)，|AB|²=4，
綜上，$2+\sqrt{3}≤|AB{|}^{2}≤4$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了計(jì)算能力，是中檔題．