【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調區(qū)間與極值;
(2)當函數(shù)有兩個極值點時,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)減區(qū)間,增區(qū)間 ,極小值為,無極大值;(2).
【解析】
(1)求出函數(shù)的導函數(shù),根據(jù)導函數(shù)即可求出單調區(qū)間以及極值;
(2)求出的導函數(shù),使導函數(shù)有兩個根,采用分離參數(shù)法,結合(1)中的值域即可求出參數(shù)的取值范圍.
解:(1)由,
則,
令,則,
令,即,解得,
所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為;
令,即,解得,
所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為;
因為函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增,
所以函數(shù)在處取得極小值,極小值,無極大值.
綜上所述,單調遞增區(qū)間為;單調遞減區(qū)間為;極小值為2,無極大值;
(2)由,
則,
若有兩個極值點,則有兩個根
即有兩解,即,
即與有兩個交點,
由(1)可知在上單調遞減;在上單調遞增,
,所以;
考慮函數(shù),,
由洛必達法則:,
,,
所以若與有兩個交點,則.
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【題目】如圖,由直三棱柱和四棱錐構成的幾何體中, ,平面平面.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)在線段上是否存在點,使直線與平面所成的角為?若存在,求的值,若不存在,說明理由.
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【題目】如圖1,在多邊形中,四邊形為等腰梯形,,,,四邊形為直角梯形,,.以為折痕把等腰梯形折起,使得平面平面,如圖2所示.
(1)證明:平面.
(2)求直線與平面所成角的正切值.
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【題目】新型冠狀病毒肺炎是一種急性感染性肺炎,其病原體是一種先前未在人類中發(fā)現(xiàn)的新型冠狀病毒,即2019新型冠狀病毒.2020年2月7日,國家衛(wèi)健委決定將“新型冠狀病毒感染的肺炎”暫命名為“新型冠狀病毒肺炎”,簡稱“新冠肺炎”.患者初始癥狀多為發(fā)熱、乏力和干咳,并逐漸出現(xiàn)呼吸困難等嚴重表現(xiàn).基于目前流行病學調查,潛伏期為1~14天,潛伏期具有傳染性,無癥狀感染者也可能成為傳染源.某市為了增強民眾防控病毒的意識,舉行了“預防新冠病毒知識競賽”網(wǎng)上答題,隨機抽取人,答題成績統(tǒng)計如圖所示.
(1)由直方圖可認為答題者的成績服從正態(tài)分布,其中分別為答題者的平均成績和成績的方差,那么這名答題者成績超過分的人數(shù)估計有多少人?(同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點值作代表)
(2)如果成績超過分的民眾我們認為是“防御知識合格者”,用這名答題者的成績來估計全市的民眾,現(xiàn)從全市中隨機抽取人,“防御知識合格者”的人數(shù)為,求.(精確到)
附:①,;②,則,;③,.
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【題目】已知橢圓的離心率為,短軸的一個端點到右焦點的距離為2.
(1)求橢圓的方程;
(2)設分別為橢圓的左、右頂點,如圖,過點分別作直線與,設直線交橢圓于另一點交橢圓于另一點,分別過和作橢圓的兩條切線,且兩條切線交于點,分別過和作橢圓的兩條切線,且兩條切線交于點.證明:點在直線上.
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【題目】PM2.5是衡量空氣質量的重要指標,我國采用世衛(wèi)組織的最寬值限定值,即PM2.5日均值在以下空氣質量為一級,在空氣質量為二級,超過為超標,如圖是某地1月1日至10日的PM2.5(單位:)的日均值,則下列說法正確的是( )
A.10天中PM2.5日均值最低的是1月3日
B.從1日到6日PM2.5日均值逐漸升高
C.這10天中恰有5天空氣質量不超標
D.這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)是43
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【題目】已知以線段EF為直徑的圓內切于圓O:x2+y2=16.
(1)若點F的坐標為(﹣2,0),求點E的軌跡C的方程;
(2)在(1)的條件下,軌跡C上存在點T,使得,其中M,N為直線y=kx+b(b≠0)與軌跡C的交點,求△MNT的面積.
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