Question

雙曲函數(shù)是一類在物理學(xué)上是有十分廣泛應(yīng)用的函數(shù)，并且它具有與三角函數(shù)相似的一些性質(zhì)，下面給出雙曲函數(shù)的定義：雙曲正弦函數(shù)shx=

ex-e-x

2

，雙曲余弦函數(shù)：chx=

ex+e-x

2

，則函數(shù)y=ch（2x）-chx+（shx）²-（chx）²的值域是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由新定義把函數(shù)y=ch（2x）-chx+（shx）²-（chx）²化簡，然后令t=e^x+e^-x換元，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)值域．

解答： 解：由shx=

ex-e-x

2

，chx=

ex+e-x

2

，得
y=ch（2x）-chx+（shx）²-（chx）²=

e2x+e-2x

2

-

ex+e-x

2

+(

ex-e-x

2

)2-(

ex+e-x

2

)2
=

e2x+e-2x

2

-

ex+e-x

2

+

e2x+e-2x-2-e2x-e-2x-2

4

=

e2x+e-2x-(ex+e-x)

2

-1
=

(ex+e-x)2-(ex+e-x)

2

-2
=

1

2

(t2-t-4)（t=e^x+e^-x≥2），
∵y=

1

2

(t2-t-4)在[2，+∞）上為增函數(shù)，
∴其值域為[-1，+∞）．
∴函數(shù)y=ch（2x）-chx+（shx）²-（chx）²的值域是[-1，+∞）．
故答案為：[-1，+∞）．

點評：本題是新概念題，考查了函數(shù)值域的求法，考查了換元法，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域，是中檔題．