Question

【題目】為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.

（1）若袋中所裝的個(gè)球中有個(gè)所標(biāo)的面值為元，其余個(gè)均為元，求顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是元，并規(guī)定袋中的個(gè)球只能由標(biāo)有面值為元和元的兩種球組成，或標(biāo)有面值元和元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡.請(qǐng)對(duì)袋中的個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）40；（2）選擇方案（20,20,40,40）.

【解析】

試題（1）（ⅰ）摸出2個(gè)球共有種方法，由題意得摸出2個(gè)球中一個(gè)為面值為50元，另一個(gè)為10元的，所以有種方法，所求概率為；（ⅱ）先確定隨機(jī)變量取法：20,60.再分別求對(duì)應(yīng)概率，列表得分布列，最后根據(jù)公式求數(shù)學(xué)期望（2）根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元，所以數(shù)學(xué)期望為60元.因此只能有兩個(gè)方案：（10,10,50,50），（20,20,40,40），這兩個(gè)方案的數(shù)學(xué)期望皆為60，為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，即方差要盡可能小，計(jì)算兩者方差得選擇方案（20,20,40,40）.

試題解析：（1）設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X，

（ⅰ）依題意，得P（X＝60）＝＝，

即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為.

（ⅱ）依題意，得X的所有可能取值為20,60.

P（X＝60）＝，P（X＝20）＝＝，

即X的分布列為

X	20	60
P

所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為

E（X）＝20×＋60×＝40（元）．

（2）根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元．所以，先尋找期望為60元的可能方案．對(duì)于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇（10,10,10,50）的方案，因?yàn)?/span>60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇（50,50,50,10）的方案，因?yàn)?/span>60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是（10,10,50,50），記為方案1.

對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除（20,20,20,40）和（40,40,40,20）的方案，所以可能的方案是（20,20,40,40），記為方案2.

以下是對(duì)兩個(gè)方案的

對(duì)于方案1，即方案（10,10,50,50），設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，則X1的分布列為

X1	20	60	100
P

X1的期望為E（X1）＝20×＋60×＋100×＝60，

X1的方差為D（X1）＝（20－60）2×＋（60－60）2×＋（100－60）2×＝.

對(duì)于方案2，即方案（20,20,40,40），設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，則X2的分布列為

X2	40	60	80
P

X2的期望為E（X2）＝40×＋60×＋80×＝60，

X2的方差為D（X2）＝（40－60）2×＋（60－60）2×＋（80－60）2×＝.

由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.