Question

已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)” .
（Ⅰ）證明：只要，無論取何值，函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；
（Ⅱ）在同一函數(shù)圖像上任意取不同兩點A（），B（），線段AB中點為C（），記直線AB的斜率為k.
（1）對于二次函數(shù)，求證；
（2）對于“偽二次函數(shù)” ，是否有（1）同樣的性質(zhì)？證明你的結(jié)論。

Answer 1

（Ⅰ）恒成立，當時，（Ⅱ）恒成立，∵，由二次函數(shù)的性質(zhì)，（Ⅱ）不可能恒成立，則函數(shù)不可能總為增函數(shù).
（Ⅱ）；
（2）“偽二次函數(shù)” 不具有（1）的性質(zhì).

試題分析：（Ⅰ）定義域為，如果為增函數(shù)，則（Ⅰ）恒成立，當時，（Ⅱ）恒成立，∵，由二次函數(shù)的性質(zhì)，（Ⅱ）不可能恒成立，則函數(shù)不可能總為增函數(shù).        4分
（Ⅱ）（1）.
由      ∴，則          8分
（2）不妨設，對于“偽二次函數(shù)”：
（Ⅲ）
由(1)中（Ⅰ）(Ⅳ)
的性質(zhì),則,比較（Ⅲ）(Ⅳ)兩式得 ,
即(Ⅴ)   令 (Ⅵ)
設,則
∴在(1, )上遞增, ∴
∴(Ⅵ)式不可能成立, (Ⅴ)式不可能成立,
∴“偽二次函數(shù)” 不具有（1）的性質(zhì).           13分
點評：難題，本題屬于導數(shù)應用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。（I）中要對a的不同取值情況加以討論，在解不等式取舍過程中易于出錯。涉及不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的最值，通過構(gòu)建a的不等式組，求得a的范圍。理解“偽函數(shù)的概念”的解題的關(guān)鍵之一。