已知二次函數(shù)
和“偽二次函數(shù)”
.
(Ⅰ)證明:只要
,無論
取何值,函數(shù)
在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù);
(Ⅱ)在同一函數(shù)圖像上任意取不同兩點A(
),B(
),線段AB中點為C(
),記直線AB的斜率為k.
(1)對于二次函數(shù)
,求證
;
(2)對于“偽二次函數(shù)”
,是否有(1)同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論。
(Ⅰ)恒成立,當
時,
(Ⅱ)恒成立,∵
,由二次函數(shù)的性質(zhì),(Ⅱ)不可能恒成立,則函數(shù)
不可能總為增函數(shù).
(Ⅱ)
;
(2)“偽二次函數(shù)”
不具有(1)的性質(zhì).
試題分析:(Ⅰ)定義域為
,如果
為增函數(shù),則
(Ⅰ)恒成立,當
時,
(Ⅱ)恒成立,∵
,由二次函數(shù)的性質(zhì),(Ⅱ)不可能恒成立,則函數(shù)
不可能總為增函數(shù). 4分
(Ⅱ)(1)
.
由
∴
,則
8分
(2)不妨設
,對于“偽二次函數(shù)”:
(Ⅲ)
由(1)中(Ⅰ)
(Ⅳ)
的性質(zhì),則
,比較(Ⅲ)(Ⅳ)兩式得
,
即
(Ⅴ) 令
(Ⅵ)
設
,則
∴
在(1,
)上遞增, ∴
∴(Ⅵ)式不可能成立, (Ⅴ)式不可能成立,
∴“偽二次函數(shù)”
不具有(1)的性質(zhì). 13分
點評:難題,本題屬于導數(shù)應用中的基本問題,通過研究函數(shù)的單調(diào)性,明確了極值情況。(I)中要對a的不同取值情況加以討論,在解不等式取舍過程中易于出錯。涉及不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的最值,通過構(gòu)建a的不等式組,求得a的范圍。理解“偽函數(shù)的概念”的解題的關(guān)鍵之一。
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
(Ⅰ)當
時,判斷函數(shù)
是否有極值;
(Ⅱ)若
時,
總是區(qū)間
上的增函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,一矩形鐵皮的長為8cm,寬為5cm,在四個角上截去四個相同的小正方形,制成一個無蓋的小盒子,問小正方形的邊長為多少時,盒子容積最大?
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
,
(其中
).
(1)求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)
在區(qū)間
上為增函數(shù),求
的取值范圍;
(3)設函數(shù)
,當
時,若存在
,對任意的
,總有
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
.
(1)求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)當
時,判斷
和
的大小,并說明理由;
(3)求證:當
時,關(guān)于
的方程:
在區(qū)間
上總有兩個不同的解.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
在(1,2)上是增函數(shù),
在(0,1)上是減函數(shù)。
求
的值;
當
時,若
在
內(nèi)恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
求證:方程
在
內(nèi)有唯一解.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
設曲線
在點
處的切線與直線
平行,則實數(shù)
等于( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
設曲線
(
)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為
,則
=
.
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