Question

12．求函數(shù)y=x²+2x+3在區(qū)間[m，m+1]上的最值．

Answer 1

分析 分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)y=x²+2x+3在區(qū)間[m，m+1]上的最值．

解答 解：函數(shù)y=x²+2x+3的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=-1為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)m+1≤-1，即m≤-2時(shí)，函數(shù)y=x²+2x+3在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞減，此時(shí)當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)取最大值m²+2m+3，當(dāng)x=m+1時(shí)，函數(shù)取最小值m²+4m+6，
當(dāng)$\frac{m+m+1}{2}$≤-1＜m+1，即-2＜m≤-$\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)y=x²+2x+3在區(qū)間[m，-1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-1，m+1]上單調(diào)遞增，此時(shí)當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)取最大值m²+2m+3，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最小值2，
當(dāng)m＜-1＜$\frac{m+m+1}{2}$，即-$\frac{3}{2}$＜m＜-1時(shí)，函數(shù)y=x²+2x+3在區(qū)間[m，-1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-1，m+1]上單調(diào)遞增，此時(shí)當(dāng)x=m+1時(shí)，函數(shù)取最大值m²+4m+6，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最小值2，
當(dāng)m≥-1時(shí)，函數(shù)y=x²+2x+3在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，此時(shí)當(dāng)x=m+1時(shí)，函數(shù)取最大值m²+4m+6，當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)取最小值m²+2m+3，

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確分類是關(guān)鍵．