Question

2．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點，F(xiàn)是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)（包括邊）的動點，且A₁F∥平面D₁AE，沿A₁F運動，將B₁點所在的幾何體削去，則剩余幾何體的體積為（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{7}{8}$
• C． $\frac{11}{12}$
• D． $\frac{23}{24}$

Answer 1

分析 分別取B₁B、B₁C₁的中點M、N，連接AM、MN、AN，證明平面A₁MN∥平面D₁AE，可得點F的軌跡是線段MN，即可求出剩余幾何體的體積．

解答 解：分別取B₁B、B₁C₁的中點M、N，連接AM、MN、AN，則
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，∴A₁M∥平面D₁AE．
同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN內(nèi)的相交直線，∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此結(jié)合A₁F∥平面D₁AE，可得直線A₁F?平面A₁MN，即點F的軌跡是線段MN，
∴${V}_{{B}_{1}-AMN}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{24}$，
∴將B₁點所在的幾何體削去，剩余幾何體的體積為1-$\frac{1}{24}$=$\frac{23}{24}$，
故選：D．

點評 本題考查了空間直線與平面平行關(guān)系的判定與性質(zhì)，考查棱錐的體積公式，綜合性較強，正確的作出圖形是關(guān)鍵．