Question

已知Z1=x2+i

x2+1

，Z₂=（x²+a）i對于任意實數(shù)x，都有|Z₁|＞|Z₂|恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)題意求出兩個向量的模，利用它們的關(guān)系列出不等式，再由恒等關(guān)系求出a的范圍．

解答：解：由題意得，|Z1|=

x4+x2+1

，|Z2|=

x4+a2

，|Z1|=

x4+x2+1

，|Z2|=

x4+a2+2ax2

∵|Z₁|＞|Z₂|，∴|Z₁|²＞|Z₂|²，
即x⁴+x²+1＞x⁴+a²+2ax²，（1-2a）x²+（1-a²）＞0，對任意x∈R成立，當a=

1

2

時，不等式成立，
當1-2a≠0時，

1-2a＞0 -4(1-2a)(1-a2)＜0

解得-1＜a＜

1

2

，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-1，

1

2

]

點評：本題考查了復(fù)數(shù)的模的公式，即根據(jù)條件求出向量的模，利用條件和恒成立問題求出．