Question

20．鈍角三角形ABC的面積為3$\sqrt{3}$，BC=3，AC=4，則AB=（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\sqrt{37}$
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 根據(jù)題意和三角形的面積公式求出sinC的值，由內(nèi)角的范圍、特殊角的正弦值求出角C，再分別利用余弦定理求出AB的值，并利用余弦定理驗證是否符合條件．

解答 解：由題意得，鈍角三角形ABC的面積為3$\sqrt{3}$，BC=3，AC=4，
則3$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}×3×4$×sinC，解得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0＜C＜π得，C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
當C=$\frac{π}{3}$時，由余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cosB
=9+16-2×$3×4×\frac{1}{2}$=13，AB=$\sqrt{13}$，
則B是最大角，cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{13+9-16}{2\sqrt{13}×3}$＞0，則B是銳角，
這與三角形是鈍角三角形矛盾，
所以C=$\frac{2π}{3}$，則AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cosB
=9+16+2×$3×4×\frac{1}{2}$=37，則AB=$\sqrt{37}$，
故選：B．

點評 本題考查余弦定理及其變形，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，注意內(nèi)角的范圍，考查化簡、計算能力．