Question

8．已知函數(shù)f（x）=3x³-ax²+x-5在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是a≤5．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=3x³-ax²+x-5在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，即f′（x）=9x²-2ax+1≥0在區(qū)間[1，2]上恒成立，即a≤$\frac{9{x}^{2}+1}{2x}$在區(qū)間[1，2]上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{9{x}^{2}+1}{2x}$，利用導(dǎo)數(shù)法求出其最小值，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=3x³-ax²+x-5在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=9x²-2ax+1≥0在區(qū)間[1，2]上恒成立，
即a≤$\frac{9{x}^{2}+1}{2x}$在區(qū)間[1，2]上恒成立，
令g（x）=$\frac{9{x}^{2}+1}{2x}$，則g′（x）=$\frac{9{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g′（x）＞0恒成立，
故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取最小值5，
故a≤5，
故答案為：a≤5．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，恒成立問題，難度中檔．