Question

在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點為A（0，-1），B（0，1），平面內(nèi)兩點G，M同時滿足：
①G為△ABC的重心；
②M到△ABC三點A，B，C的距離相等；
③直線GM的傾斜角為

π

2

．
（1）求證：頂點C在定橢圓E上，并求橢圓E的方程；
（2）設(shè)P，Q，R，N都在曲線E上，點F(

2

，0)，直線PQ與RN都過點F并且相互垂直，求四邊形PRQN的面積S的最大值和最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）G為△ABC的重心，M為△ABC的外心且M在x軸上，根據(jù)MA=MC，利用坐標求解方程．
（2）由

y=k(x- 2 ) x2+3y2=3

，得(3k2+1)x2-6

2

k2x+6k2-3=0．利用韋達定理求解得出S=

1

2

|PQ|•|RN|=

6(k2+1)2

(3k2+1)(k2+3)

=2-

8

3(k2+ 1 k2 )+10

，再利用均值不等式求解即可．

解答： 解：（1）設(shè)C（x，y），
∵S△GBC=

1

3

S△ABC，S△GAC=

1

3

S△ABC，
∴G為△ABC的重心，∴G(

x

3

，

y

3

)，
又∵M為△ABC的外心且M在x軸上，
∴M(

x

3

，0)，由MA=MC得

( x 3 )2+1

=

(x- x 3 )2+y2

，
整理得：

x2

3

+y2=1(x≠0)．
（2）F(

2

，0)恰為

x2

3

+y2=1的右焦點，
設(shè)PQ的斜率為k（k≠0），則PQ：y=k(x-

2

)，
由

y=k(x- 2 ) x2+3y2=3

，得(3k2+1)x2-6

2

k2x+6k2-3=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x1+x2= 6 2 k2 3k2+1 x1x2= 6k2-3 3k2+1

，
∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

2 3 (k2+1)

3k2+1

，
∵RN⊥PQ，把k換成-

1

k

，得|RN|=

2 3 (k2+1)

3+k2

，
∴S=

1

2

|PQ|•|RN|=

6(k2+1)2

(3k2+1)(k2+3)

=2-

8

3(k2+ 1 k2 )+10

，
∴3(k2+

1

k2

)+10=

8

2-S

，
∴

8

2-S

≥16，⇒

3

2

≤S＜2，
當且僅當k=±1時，取等號，又當k不存在或者k=0時，S=2，
綜上：

3

2

≤S≤2，
∴Smax=2，Smin=

3

2

．

點評：本題考查了橢圓的方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于綜合題．