Question

已知圓方程x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若圓與直線x+2y-4=0相交于M，N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）求m的值；
（2）在（1）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）將圓的方程與直線方程聯(lián)立，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用OM⊥ON，可得x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理，即可求出m的值；
（2）確定圓心坐標(biāo)與半徑，即可求以MN為直徑的圓的方程．

解答：解：（1）由x²+y²-2x-4y+m=0得（x-1）²+（y-2）²=5-m
由5-m＞0，可得m＜5…（2分）
于是由題意

x+2y-4=0 x2+y2-2x-4y+m=0

把x=4-2y代入x²+y²-2x-4y+m=0，得 5y²-16y+8+m=0…..（3分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y1+y2=

16

5

，y1y2=

8+m

5

…（4分）
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0…（5分）
∴5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0
∴m=

8

5

，滿足題意…（8分）
（2）設(shè)圓心為（a，b），則a=

x1+x2

2

=

4

5

，b=

y1+y1

2

=

8

5

…．（9分）
半徑r=

1

2

1+(-2)2

•|y1-y2|=

1

2

•

5

•

( 16 5 )2-4• 8+ 8 5 5

=

4 5

5

…（12分）
∴圓的方程(x-

4

5

)2+(y-

8

5

)2=

16

5

…（13分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查圓的方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．