已知圓方程x2+y2-2ax-4ay+5a2-4=0(a∈R).
(1)求圓的半徑,圓心坐標并求出圓心坐標所滿足的直線方程;
(2)試問:是否存在直線l,使對任意a∈R,直線l被圓截得的弦長均為2,若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
分析:(1)根據(jù)題意可得圓的標準方程為(x-a)2+(y-2a)2=4,即可得到半徑與圓心坐標,進而得到圓心所在的直線方程.
(2)根據(jù)題意可得:所求直線必須平行于直線y=2x,所以設所求直線的方程為y=2x+b,再根據(jù)半弦長、半徑與弦心距的關(guān)系為(
AB
2
)
2
+d2=r2
,可得圓心到直線的距離,進而結(jié)合點到直線的距離公式計算出b的數(shù)值,得到答案.
解答:解:(1)根據(jù)題意可得圓的方程為(x-a)2+(y-2a)2=4,
所以半徑為2,圓心坐標為(a,2a),
所以圓心坐標滿足的直線方程為y=2x.
(2)因為圓心在直線y=2x上,并且對任意a∈R,直線l被圓截得的弦長均為2,
所以所求直線必須平行于直線y=2x,
所以設所求直線的方程為y=2x+b,
因為該直線被圓截得的弦長均為2,并且半弦長、半徑與弦心距的關(guān)系為(
AB
2
)
2
+d2=r2
,
所以d=
3
,
所以圓心(a,2a)到該直線的距離為
3
,則
|2a-2a+b|
5
=
3
,
解的b=±
15
,
所以直線方程為y=2x±
15
點評:解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的標準方程,以及直線與圓的位置關(guān)系,而當直線與圓相交時半弦長、半徑與弦心距的關(guān)系(
AB
2
)
2
+d2=r2
是解題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

附加題:已知圓方程x2+y2+2y=0.
(1)以圓心為焦點,頂點在原點的拋物線方程是
y2=-4x
y2=-4x

(2)求x2y2的取值范圍得
[0,
27
16
]
[0,
27
16
]

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓方程x2+y2-4px-4(2-p)y+8=0,且p≠1,p∈R,
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(2)求圓心的軌跡.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓方程x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若圓與直線x+2y-4=0相交于M,N兩點,且OM⊥ON(O為坐標原點)求m的值;
(2)在(1)的條件下,求以MN為直徑的圓的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:2009-2010學年浙江省杭州十四中高二(上)段考數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

附加題:已知圓方程x2+y2+2y=0.
(1)以圓心為焦點,頂點在原點的拋物線方程是______.
(2)求x2y2的取值范圍得______.

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