Question

受日月引力影響，海水會發(fā)生漲退潮現(xiàn)象．通常情況下，船在漲潮時駛進港口，退潮時離開港口．某港口在某季節(jié)每天港口水位的深度y（米）是時間t（0≤t≤24，單位：小時，t=0表示0：00-零時）的函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系式為y=f（t），f（t）=Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）．已知一天中該港口水位的深度變化有如下規(guī)律：出現(xiàn)相鄰兩次最高水位的深度的時間差為12小時，最高水位的深度為12米，最低水位的深度為6米，每天13：00時港口水位的深度恰為10.5米．
（Ⅰ）試求函數(shù)y=f（t）的表達式；
（Ⅱ）某貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，安全條例規(guī)定船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，問該船在當天的什么時間段能夠安全進港？若該船欲于當天安全離港，則它最遲應(yīng)在當天幾點以前離開港口？

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）最高水位為A+K，最低水位為-A+K，聯(lián)立方程組求得A和K的值，再由出現(xiàn)相鄰兩次最高水位的深度的時間差為12小時，可知周期為12，由此求得ω值，再結(jié)合每天13：00時港口水位的深度恰為10.5米，把點（13，10.5）代入y=Asin（ωx+φ）+K的解析式求得φ，則函數(shù)y=f（t）的表達式可求；
（Ⅱ）直接由（Ⅰ）中求得的函數(shù)表達式大于等于7+3.5求解t的范圍，則答案可求．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，

A+K=12 -A+K=6

，解得

A=3 K=9

，
又

2π

ω

=12，
∴ω=

π

6

．
又f（13）=10.5，
∴3sin（

13π

6

+φ）+9=10.5，
∴sin（

π

6

+φ）=

1

2

．
∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，
∴φ=0，
∴y=f（t）=3sin

π

6

t+9；
（Ⅱ）令3sin

π

6

t+9≥7+3.5，得sin

π

6

t≥

1

2

，
∴2kπ+

π

6

≤

π

6

t≤2kπ+

5π

6

，
∴12k+1≤t≤12k+5，k∈Z．
∵0≤t≤24，∴1≤t≤5或13≤t≤17．
∴該船當天安全進港的時間為1～5點和13～17點，最遲應(yīng)在當天的17點以前離開港口．

點評：本題是應(yīng)用題，考查y=Asin（ωx+φ）+K型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．