Question

【題目】已知四棱錐，底面為正方形，且底面，過(guò)的平面與側(cè)面的交線為，且滿足（表示的面積）.

（1）證明： 平面；

（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析：（1）利用平幾知識(shí)由S△PEF：S四邊形CDEF=1:3知E為PC的中點(diǎn)，連接BD交AC與G，則G為BD中點(diǎn)，由三角形中位線性質(zhì)得EG//PB，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果（2）先根據(jù)中點(diǎn)得,再根據(jù)等體積法得,根據(jù)CD⊥平面PAD，得高CD，利用錐體體積公式得，即得，最后根據(jù)高等于點(diǎn)到平面的距離

試題解析：（Ⅰ）證明：由題知四邊形ABCD為正方形

∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD

∴AB//平面PCD

又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF

∴EF // AB，又AB//CD

∴EF //CD，

由S△PEF：S四邊形CDEF=1:3知E、F分別為PC、PD的中點(diǎn)

連接BD交AC與G，則G為BD中點(diǎn)，

在△PBD中FG為中位線，∴ EG//PB

∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE

∴PB//平面ACE.

（Ⅱ）∵PA=2，AD=AB=1， ∴,

∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD

在Rt△CDE中，

在△ACE中由余弦定理知

∴，∴S△ACE=

設(shè)點(diǎn)F到平面ACE的距離為，則

由DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA=A，得DG⊥平面PAC，且

∵E為PD中點(diǎn)，∴E到平面ACF的距離為

又F為PC中點(diǎn)，∴S△ACF S△ACP ，∴

由知

∴點(diǎn)F到平面ACE的距離為.