Question

5．已知在直角坐標系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ+sinθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ-cosθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），在以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同單位長度的極坐標系中，曲線C₂：ρsin（$θ+\frac{π}{6}$）=1．
（1）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（2）曲線C₁上恰好存在三個不同的點到曲線C₂的距離相等，分別求這三個點的極坐標．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ+sinθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ-cosθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），兩式平方相加可得直角坐標方程；曲線C₂：ρsin（$θ+\frac{π}{6}$）=1，展開可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$+$\frac{1}{2}ρcosθ$=1，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可化為直角坐標方程．
（2）原點O到直線C₂：$\sqrt{3}y+x-2$=0的距離d=1=$\frac{1}{2}$r，直線$\sqrt{3}$y+x=0與圓的兩個交點A，B滿足條件．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y+x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解出利用$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，分別化為極坐標A，B．
設與直線：$\sqrt{3}y+x-2$=0平行且與圓相切的直線方程為：$\sqrt{3}$y+x+m=0，（m＜0）．與圓的方程聯(lián)立化為：4y²+2$\sqrt{3}$my+m²-4=0，令△=0，解得m，即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ+sinθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ-cosθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），兩式平方相加可得：x²+y²=4，
曲線C₂：ρsin（$θ+\frac{π}{6}$）=1，展開可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$+$\frac{1}{2}ρcosθ$=1，化為直角坐標方程：$\sqrt{3}y+x-2$=0．
（2）原點O到直線C₂：$\sqrt{3}y+x-2$=0的距離d=$\frac{|0-2|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=1=$\frac{1}{2}$r，
直線$\sqrt{3}$y+x=0與圓的兩個交點A，B滿足條件．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y+x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
利用$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，分別化為極坐標A$（2，\frac{5π}{6}）$，B$（2，\frac{11π}{6}）$．
設與直線：$\sqrt{3}y+x-2$=0平行且與圓相切的直線方程為：$\sqrt{3}$y+x+m=0，（m＜0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y+x+m=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：4y²+2$\sqrt{3}$my+m²-4=0，
令△=12m²-16（m²-4）=0，解得m=-4．
∴$（y-\sqrt{3}）^{2}$=0，
解得y=$\sqrt{3}$，x=1．
∴切點C$（1，\sqrt{3}）$，化為極坐標C$（2，\frac{π}{3}）$．
∴滿足條件的這三個點的極坐標分別為：極坐標A$（2，\frac{5π}{6}）$，B$（2，\frac{11π}{6}）$，C$（2，\frac{π}{3}）$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、圓的標準方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．