Question

17．已知數(shù)列{a_n}，觀察程序框圖，若k=5時(shí)，分別有S=25．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）令b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的值．

Answer 1

分析 （1）由框圖可知{a_n}為等差數(shù)列，且公差為2，由題意得當(dāng)k=5時(shí)，有5a₁+25-5=25，由此求出首項(xiàng)，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．
（2）由已知各b_n=2^an=2^2n-1，由此能{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的值．

解答 解：（1）由框圖可知{a_n}為等差數(shù)列，且公差為2，S_n為{a_n}前n項(xiàng)和，
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$=na₁+n²-n
由題意得當(dāng)k=5時(shí)，有S=25，
所以5a₁+25-5=25，
解得a₁=1，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（2）由（1）可得：b_n=2^an=2^2n-1
∴b₁+b₂+…+b_m
=2¹+2³+…+2^2m-1
=$\frac{2（1-{4}^{m}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$（4^m-1）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)和程序框圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．