Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上任一點．
（Ⅰ）求證：無論E點取在何處恒有BC⊥DE；
（Ⅱ）設(shè)

SE

=λ

EB

，當平面EDC⊥平面SBC時，求λ的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下求二面角A-DE-C的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）先證明BC⊥BD，SD⊥BD，可得BC⊥平面SBD，即可證明無論E點取在何處恒有BC⊥DE；
（Ⅱ）建立坐標系，設(shè)E（x，y，z），由

SE

=λ

EB

，求出E的坐標，求出平面SBC的一個法向量、平面EDC的一個法向量，利用平面EDC⊥平面SBC，可得

n1

•

n2

=2-λ=0，即可求λ的值；
（Ⅲ）當λ=2時，E（

2

3

，

2

3

，

2

3

），同理可求平面ADE的一個法向量

m1

=（0，1，1），取平面CDE的一個法向量．利用向量的夾角公式，即可求二面角A-DE-C的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：∵AD⊥DC，AB=AD=1，DC=2，
∴BC⊥BD，
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥BD，
∵BD∩SD=D，
∴BC⊥平面SBD，
∵DE?面SBD，
∴無論E點取在何處恒有BC⊥DE；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的坐標系，設(shè)E（x，y，z），則
∵

SE

=λ

EB

，∴（x，y，z-2）=λ（1-x，1-y，-z），
∴E（

λ

1+λ

，

λ

1+λ

，

2

1+λ

），
設(shè)平面SBC的一個法向量為

n2

=（a，b，c），則
∵

SC

=（0，2，-2），

SB

=（1，1，-2），
∴

2b-2c=0 a+b-2c=0

，取平面SBC的一個法向量

n2

=（1，1，1），
同理可求平面EDC的一個法向量

n1

=（2，0，-λ），
∵平面EDC⊥平面SBC，
∴

n1

•

n2

=2-λ=0，
∴λ=2；
（Ⅲ）解：當λ=2時，E（

2

3

，

2

3

，

2

3

），同理可求平面ADE的一個法向量

m1

=（0，1，1），
取平面CDE的一個法向量

m2

=（1，0，-1），則cosθ=

m1 • m2

| m1 || m2 |

=

1

2

，
∴二面角A-DE-C為120°．

點評：本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．