Question

（Ⅰ）已知函數：f（x）=2^n-1（xⁿ+a）-（x+a）ⁿ，（x∈[0，+∞），n∈N^*）求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）證明：

a n+b n

2

≥（

a+b

2

）ⁿ（a＞0，b＞0，n∈N^*）；
（Ⅲ）定理：若a₁，a₂，a₃，a_k均為正數，則有

a n 1 +a n 2 +a n 3 +… +a n k

k

≥（

a1+a2+a3+…ak

k

）ⁿ成立（其中k≥2，k∈N^*，k為常數．請你構造一個函數g（x），證明：當a₁，a₂，a₃，…a_k，a_k+1均為正數時，

a n 1 +a n 2 +a n 3 + …a n k+1

k+1

≥（

a1+a2+a3+…ak+1

k+1

）ⁿ．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）,不等式的證明

專題：證明題,不等式

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，求出極值點，判斷函數的單調性，然后求出函數的最小值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結果，化簡證明即可．
（Ⅲ）利用分析法，通過構造函數，利用函數的導數判斷函數的單調性，通過函數的單調性證明不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）令f'（x）=2^n-1nx^n-1-n（a+x）^n-1=0
得（2x）^n-1=（a+x）^n-1，∴2x=a+x，∴x=a---------------（2分）
當0≤x≤a時，∴2x＜a+x，∴f'（x）≤0，故f（x）在[0，a]上遞減．
當x＞a，f'（x）＞0，故f（x）在（a，+∞）上遞增．
∴，當x=a時，f（x）的最小值為f（a）=0---------------（4分）
（Ⅱ）由b＞0，有f（x）≥f（a）=0，即f（b）=2^n-1（aⁿ+bⁿ）-（a+b）ⁿ≥0
故　

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n(a＞0，b＞0，n∈N*)．--------（5分）
（Ⅲ）證明：要證：

a n 1 + a n 2 + a n 3 +…+ a n k+1

k+1

≥(

a1+a2+a3+…+ak+1

k+1

)n
只要證：(k+1)n-1(

a

n 1

+

a

n 2

+

a

n 3

+…+

a

n k+1

)≥(a1+a2+a3+…+ak+1)n
設g(x)=(k+1)n-1(

a

n 1

+

a

n 2

+

a

n 3

+…+xn)-(a1+a2+a3+…+x)n-------------（7分）
則g′(x)=(k+1)n-1•nxn-1-n(a1+a2+a3+…+x)n-1
令g'（x）=0得x=

a1+a2+a3+…+ak

k

---------------（8分）
當0≤x≤

a1+a2+a3+…+ak

k

時，g′(x)=(k+1)n-1•nxn-1-n(a1+a2+a3+…+x)n-1
≤n(a1+a2+a3+…+x)n-1-n(a1+a2+a3+…+x)n-1=0
故g（x）在[0，

a1+a2+a3+…+ak

k

]上遞減，
類似地可證g（x）在[

a1+a2+a3+…+ak

k

，+∞)遞增
∴當x=

a1+a2+a3+…+ak

k

時，g（x）的最小值為g(

a1+a2+a3+…+ak

k

)------------（10分）
而g(

a1+a2+a3+…+ak

k

)
=(k+1)n-1(

a

n 1

+

a

n 2

+…+

a

n k

+(

a1+a2+a3+…+ak

k

)n)-(a1+a2+…+ak+

a1+a2+a3+…+ak

k

)n
=

(k+1)n-1

kn

[kn(

a

n 1

+

a

n 2

+…+

a

n k

+(a1+a2+a3+…+ak)n)-(k+1)(a1+a2+…+ak)n]
=

(k+1)n-1

kn

[kn(

a

n 1

+

a

n 2

+…+

a

n k

)-k(a1+a2+…+ak)n]
=

(k+1)n-1

kn-1

[kn-1(

a

n 1

+

a

n 2

+…+

a

n k

)-(a1+a2+…+ak)n]
由定理知：kn-1(

a

n 1

+

a

n 2

+…+

a

n k

)-(a1+a2+…+ak)n≥0，
故g(

a1+a2+a3+…+ak

k

)≥0
∵a_k+1∈[0，+∞），
∴g(ak+1)≥g(

a1+a2+a3+…+ak

k

)≥0
故(k+1)n-1(

a

n 1

+

a

n 2

+

a

n 3

+…+

a

n k+1

)≥(a1+a2+a3+…+ak+1)n
即：

a n 1 + a n 2 + a n 3 +…+ a n k+1

k+1

≥(

a1+a2+a3+…+ak+1

k+1

)n---------------（14分）

點評：本題考查函數的單調性，分析法構造法以及函數的導數的綜合應用，難度比較大．