Question

定義在R上的函數(shù)f（x）是增函數(shù)，且對任意的x恒有f（x）=-f（2-x），若實數(shù)a，b滿足不等式組

f(a2-6a+23)+f(b2-8b)≤0 a≥3

，則a²+b²的范圍為（　�。�

• A、[13，27]
• B、[25，45]
• C、[13，45]
• D、[13，49]

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)的性質(zhì)可化原不等式組為

(a-3)2+(b-4)2≤4 a≥3

，a²+b²表示點（a，b）到點（0，0）的距離的平方，數(shù)相結(jié)合可得答案．

解答： 解：∵f（x）=-f（2-x），∴-f（x）=f（2-x），
∴f（a²-6a+23）+f（b²-8b）≤0可化為f（a²-6a+23）≤-f（b²-8b）=f（2-b²+8b），
又∵f（x）在R上單調(diào)遞增，∴a²-6a+23≤2-b²+8b，
即a²-6a+23+b²-8b-2≤0，配方可得（a-3）²+（b-4）²≤4，
∴原不等式組可化為

(a-3)2+(b-4)2≤4 a≥3

，
如圖，點（a，b）所對應(yīng)的區(qū)域為以（3，4）為圓心，2為半徑的右半圓（含邊界），
易知a²+b²表示點（a，b）到點（0，0）的距離的平方，
由圖易知：|OA|²≤a²+b²≤|OB|²，可得點A（3，2），B（3，6）
∴|OA|²=3²+2²=13，|OB|²=3²+6²=45，
∴13≤m²+n²≤45，即m²+n²的取值范圍為[13，45]．
故選：C

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬中檔題．