Question

【題目】設數列{an}是首項為0的遞增數列，fn（x）=|sin （x﹣an）|，x∈[an ， an+1]，n∈N* ， 滿足：對于任意的b∈[0，1），fn（x）=b總有兩個不同的根，則{an}的通項公式為

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵a1=0，當n=1時，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵對任意的b∈[0，1），f1（x）=b總有兩個不同的根，∴a2=π
∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π
又f2（x）=|sin （x﹣a2）|=|sin （x﹣π）|=|cos |，x∈[π，a3]
∵對任意的b∈[0，1），f1（x）=b總有兩個不同的根，∴a3=3π…（5分）
又f3（x）=|sin （x﹣a3）|=|sin （x﹣3π）|=|sin π|，x∈[3π，a4]
∵對任意的b∈[0，1），f1（x）=b總有兩個不同的根，∴a4=6π…（6分）
由此可得an+1﹣an=nπ，
∴an=a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）=0+π+…+（n﹣1）π=
∴
所以答案是：