Question

已知函數(shù)f（x）=x（e^x-1）-ax²．
（Ⅰ）若f（x）在x=-1時有極值，求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得f'（x）=e^x-1+xe^x-2ax．由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）法一：令g（x）=x^a-1-ax，則g'（x）=e^x-a．由此利用分類討論思想和導數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）法二：當x≥0時，x（e^x-1）≥ax²．由此利用分類討論思想和導數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：f'（x）=e^x-1+xe^x-2ax．由f'（-1）=0得，a=

1

2

…2分
當

AC

=

BD

時，f(x)=x(ex-1)-

1

2

x2，
f'（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（x+1）
當x∈（-∞，-1）時f'（x）＞0；
當x∈（-1，0）時，f'（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）單調(diào)增加，在（-1，0）單調(diào)減少，
則f（x）在x=-1時有極小值，所以a=

1

2

，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0）．…6分
（Ⅱ）解法一：f（x）=x（x^a-1-ax）．
令g（x）=x^a-1-ax，則g'（x）=e^x-a．
若a≤1，則當x∈（0，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）為減函數(shù)，
而g（0）=0，從而當x≥0時g（x）≥0，即f（x）≥0．…9分
若a＞1，則當x∈（0，lna）時，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
而g（0）=0，從而當x∈（0，lna）時g（x）＜0，即f（x）＜0．…11分
綜合得a的取值范圍為（-∞，1]…12分
（Ⅱ）解法二：當x≥0時，f（x）≥0，即x（e^x-1）≥ax²．
①當x=0時，a∈R；                                  …7分
②當x＞0時，x（e^x-1）≥ax²等價于e^x-1≥ax，也即a≤

ex-1

x

．
記g(x)=

ex-1

x

，x∈（0，+∞），
則g′(x)=

(x-1)ex+1

x

．…8分
記h（x）=（x-1）e^x+1，x∈（0，+∞），
則h′（x）=xe^x＞0，因此h（x）=（x-1）e^x+1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
且h（x）＞h（0）=0，所以g′(x)=

h(x)

x

＞0，
從而g(x)=

ex-1

x

在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…9分
由洛必達法則有

lim

x→0

g(x)=

lim

x→0

ex-1

x

=

lim

x→0

ex

1

=1，
即當x→0時，g（x）→1
所以g（x）＞1，即有a≤1．…11分
綜上①、②所述，a的取值范圍為（-∞，1]…12分．

點評：本題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基本知識．考查運算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想的合理運用，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．